l’oeil astigmate

1. Systeme astigmate regulier

2. astigmatisme de l’oeil
2.1. Causes
2.2. Classement et fréquence
2.3. Notation de l’astigmatisme
2.4. Classification des astigmates totaux

3. vision de l’astigmate non compense
3.1. Vision d’un point. Influence de l’accommodation
3.2. Vision d’un cercle

4. compensation de l’astigmatisme
4.1. Principe
4.2. Relation entre puissance du cylindre compensateur et astigmatisme de l'œil
4.3. Normalisation
4.4. Effets de la distance verre œil

5. Association de systemes astigmates
5.1. Méthode d’association
5.2. Bilan d’une erreur d’axage d’un verre
5.3. Cylindres croisés de Jackson

6. Astigmatisme et lentilles de contact
6.1. Détermination de l’astigmatisme interne
6.2. Compensation par une LRPO face arrière sphérique
6.3. Compensation par lentille souple
6.4. Compensation par lentille torique

            

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  1. Systeme astigmate regulier
  2. Tous les systèmes optiques ne donnent pas d’un point une image ponctuelle (systèmes stigmatiques). Parmi tous les systèmes non stigmatiques, le système astigmate régulier présente des propriétés particulières.

    Ces systèmes possèdent deux méridiens principaux qui sont des plans de symétrie du système et se coupent à angle droit. Nous avons représenté un système astigmate régulier mince limité par un diaphragme circulaire et les coupes dans les deux méridiens.

     

     

    Dans chaque méridien, le système optique a une puissance différente: DH pour le méridien horizontal et DV pour le méridien vertical. 
     
    représente l’astigmatisme du système.

    Le faisceau issu du point T, après traversée du système, ne donne plus d’image de T. Tous les rayons le constituant s’appuient sur deux focales: j H la focale horizontale centrée en TV et j V la focale verticale centrée en TH.
    TH est le conjugué image de T pour le système de puissance DH.
    TV est le conjugué image de T pour le système de puissance DV.
    Leur position se calcule en employant dans chaque méridien les formules de conjugaison du système centré.

    Le faisceau formera sur la rétine une pseudo image de T (ou tache de diffusion) qui ne pourra jamais se réduire à un point (système non stigmatique). L'œil astigmate ne peut donc jamais voir net.

    Exemple de calcul:
    On considère un système astigmate régulier mince dont la puissance dans le méridien vertical est de 40d et de 30d dans le méridien horizontal. Ce système est limité par une pupille circulaire de 5 cm de diamètre. Un point lumineux S est placé 10 cm devant le centre optique.
    a) Déterminer la position des focales du faisceau issu de S.
    b) Représenter sur un schéma coté la trace du faisceau émergent dans un plan perpendiculaire à l’axe du système situé à 3,33cm, 5,0 cm et 2,5 cm.
    c) A quelle distance x de O faut-il placer le plan pour que la trace du faisceau soit circulaire (Cercle de moindre diffusion: cmd)?

    Solution:
    a) Position des focales:
    - dans le plan Horizontal:

    - dans le plan vertical, en opérant de la même façon, on trouve: 

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    b) - Longueur de la focale horizontale j H : dH. Elle est centrée en SV , on a donc:

    de même pour la focale verticale de longueur dV :

    .

    Pour le plan de coupe situé à 2,5 cm, la section du faisceau sera une ellipse (voir cours de première année) dont on peut calculer les longueurs des axes.

    Dans le méridien vertical :

    et dans le plan horizontal:

     

     

     

     

     

    c) En exprimant la dimension de la trace dans le plan situé à la distance x dans le méridien horizontal et dans le méridien vertical, on obtient:

    Remarque: Lorsque l’astigmatisme est faible devant la puissance moyenne du système, le cercle de moindre diffusion est situé sensiblement au milieu de T’H T’V.

  3. astigmatisme de l’oeil
    1. Causes
    2. Parmi les yeux non stigmatiques, un faible nombre ne peuvent être assimilés à des systèmes astigmates réguliers. Ces astigmatismes irréguliers sont le plus souvent dus à des altérations cornéennes fixées (séquelles de plaies ou d’ulcération) ou évolutives (ptérygion ou kératocône). Elles sont en général très difficiles à compenser par un système optique.
      L’astigmatisme régulier de l’œil provient surtout de la non sphéricité de la face antérieure de la cornée qui est le dioptre de l’œil ayant la plus grande puissance. L’astigmatisme de cette face est appelé astigmatisme cornéen ou quelquefois astigmatisme objectif car il peut être mesuré à l’ophtalmomètre donc sans faire appel aux réponses du sujet.
      La face postérieure de la cornée et les faces du cristallin peuvent être des dioptres astigmates mais dans la mesure où leurs puissances sont plus faibles, l’astigmatisme total de l’ensemble de ces dioptres est en général faible. Il est appelé astigmatisme interne.
      L’astigmatisme total de l’œil résulte de l’ensemble des deux astigmatismes et ne peut être déterminé que par une méthode subjective.

    3. Classement et fréquence
    4. Dans 90% des cas, les méridiens principaux de l’œil astigmate régulier s’écartent de moins de 30° de la verticale et de l’horizontale. Si le méridien vertical est le plus puissant (72% des cas) on dit que l’on a un astigmatisme direct ou selon la règle, dans le cas où le méridien horizontal est le plus puissant (18%) on dit que l’astigmatisme est inverse ou contraire à la règle.
      Les autres cas où les méridiens principaux s’écartent de plus de 30° des horizontale et verticale sont dits à astigmatisme oblique.
      Les différentes études conduisent à des résultats qui diffèrent un peu mais il faut retenir que l’astigmatisme est dans la grosse majorité des cas direct et très rarement oblique. La fréquence d’un astigmatisme de plus de 3,00d est elle aussi faible.
      Pour l’astigmatisme cornéen : Selon Y Le Grand chez les sujets jeunes,: 10% des sujets ont une cornée sphérique, pour les autres, la cornée présente un astigmatisme cornéen qui est direct dans 77% des cas, inverse dans 1% et oblique dans 12%. Chez ces sujets jeunes, il existe un astigmatisme normal (physiologique) de 0,5 à 0,75d dû à la pression des paupières. L’astigmatisme cornéen a tendance à évoluer avec l’âge : s’il était direct, sa valeur diminue et il peut même devenir légèrement inverse dans le cas contraire, il reste inverse mais a tendance à augmenter.
      L’astigmatisme interne serait négligeable dans 49% des cas, inverse dans 44% et direct dans 7% des cas ( Statistiques de Czellitzer 1927).

    5. Notation de l’astigmatisme
    6. L’astigmatisme de l’œil peut être noté par la valeur du cylindre d’axe horizontal qu’il faut placer devant l’œil pour le compenser. Il faut préciser alors la position de ce compensateur (L ou S), sa puissance et son axe. Si on adopte cette définition, un astigmatisme direct sera noté par un nombre négatif avec un axe voisin de l’horizontale car il est compensé par un cylindre négatif d’axe voisin de l’horizontale.
      Il est évident que l’on peut de noter l’astigmatisme par le défaut de l’œil qui donne un résultat opposé à la notation précédente.
      La première définition semble préférable puisqu’en pratique nous mesurerons toujours la compensation nécessaire pour compenser l’astigmatisme existant et il me paraît préférable de réserver la notation " a " pour l’astigmatisme à sa valeur en compensateur. Si vous avez besoin dans un exercice du défaut astigmate d’un œil , notez le défaut, ce qui vous évitera les confusions.

    7. Classification des astigmates totaux
    8. Pour un point situé à l’infini, les focales associées sont centrées en des points correspondants aux " foyers " du système astigmate dans chaque méridien. Par analogie avec l’œil sphérique, on peut définir dans chaque méridien le point objet conjugué de la rétine dans ce méridien, on définit donc deux rémotas.
      - astigmatisme myopique composé: Les focales d’un point à l’infini sont à l’intérieur de l’œil
      . Les deux remotas sont réels
      - astigmatisme myopique simple: Une focale intérieure, une focale sur la rétine, un remotum réel l’autre à l’infini.
      - astigmatisme mixte: Une focale intérieure, une extérieure, Un remotum réel, l’autre virtuel.
      - astigmatisme hypéropique simple: Une focale sur la rétine, l’autre à l’extérieur,
      Un remotum à l’infini l’autre virtuel.
      - astigmatisme hypéropique composé: Les deux focales sont extérieures
      , Les remotas sont virtuels.

  4. vision de l’astigmate non compense
  5. Nous considérerons dans tous les cas que les plans principaux sont confondus dans les deux méridiens et qu’ils ne se déplacent pas quand l’œil accommode.

    1. Vision d’un point. Influence de l’accommodation
      1. Cas d’un astigmate myopique simple
      2. On considère le cas d’un œil astigmate myopique simple direct de 2,00d . Les méridiens principaux sont à 0° et 90°. La proximité rétinienne est de 60d .

        1. Vision d’un point à l’infini
        2. L’astigmatisme est simple donc l’une des focales d’un point situé à l’infini se trouve sur la rétine. L’astigmatisme est myopique, l’autre focale est à l’intérieur de l’œil et comme cet astigmatisme est direct, il s’agit de la focale horizontale (œil plus puissant dans le méridien vertical). La puissance de l’œil, non accommodé, dans le méridien horizontal est donc de 60d et de 62d dans le méridien vertical.
          Position des focales pour un point à l’infini:
          - focale horizontale centrée au conjugué du point dans le méridien vertical:

          - focale verticale centrée au conjugué du point dans le méridien horizontal (la rétine):

          Dans cette situation, si l'œil accommode, l’image de T sur la rétine va devenir une ellipse à grand axe vertical et donc devenir plus grande, la qualité de la vision va se dégrader. Le myope astigmate, regardant un point éloigné, s’il n’est pas trop myope, verra donc un point sous la forme d’une tache dont le grand axe correspond toujours à la direction de sa focale arrière.

        3. Vision d’un point à 33 cm

        Lorsque le point lumineux se rapproche, T’H et T’V qui sont les conjugués de T dans chacun des méridiens vont reculer. Maintenant l’œil va pouvoir accommoder Nous pouvons examiner sans calcul quelles sont les possibilités. La proximité du point lumineux est maintenant de – 3 d . Si l’œil n’accommode pas, les deux focales ont pour proximité: 57 d pour la focale verticale et 59 d pour la focale horizontale, elles sont toutes les deux derrière la rétine.

         

         

         

         

         

         

        L’œil verrait alors le point sous la forme d’une ellipse de grand axe horizontal (la focale verticale étant la plus éloignée de la rétine.
        S’il accommode d’une amplitude A, la proximité des focales diminue de A par rapport au cas de l’œil non accommodé. Pour une accommodation de 1d , la focale horizontale va se trouver sur la rétine et l’œil verra le point sous la forme d’un trait horizontal. Pour une accommodation de 2d , les focales occuperont des positions symétriques par rapport à la rétine et le point sera vu sous la forme d’une tache circulaire et enfin pour une accommodation de 3d nous retrouvons la focale verticale sur la rétine, le point est vu sous la forme d’un segment vertical. Nous pouvons résumer les réponses dans le schéma suivant:

         

         

         

         

         

         

         


        Quelle sera la réponse la plus probable du sujet ? Elle va dépendre du type de test qui lui est présenté et de son amplitude maximale d’accommodation. Si le point T fait partie d’un test de lecture qui demande un fort effort de décodification (il faut reconnaître précisément les lettres pour les lire), le sujet cherchera à placer sur la rétine la tache optimale de diffusion (celle-ci n’est pas toujours confondue avec le cmd). Dans l’exemple choisi, au test de Parinaud, toute personne de moins de 50 ans mettra en jeu une accommodation voisine de 2d et amènera sa tache optimale sur la rétine, son acuité au près ne sera limitée que par son astigmatisme.

        Au contraire, dans le cas où le test présenté ne demande pas un tel effort (test de Parent), le sujet peut se contenter d’une vision approximative. On dit que de tels tests sollicitent peu l’accommodation et la réponse dépendra beaucoup plus de l’amplitude maximale du sujet. Dans notre exemple, le sujet jeune mettra probablement en jeu une accommodation d’au moins 1,5d et répondra au test de Parent qu’il le voit uniforme ou qu’il voit la direction 12/6 plus contrastée. Un sujet de plus de 45 ans aura tendance à répondre qu’il voit la direction 9/3 plus contrastée. Son amplitude d’accommodation maximale étant limitée, il aura tendance à mettre en jeu une accommodation inférieure à 1,5d .

      3. Cas de l’astigmate hypérope composé
        1. Point à l’infini
        2. Dans ce cas même pour un point à l’infini, le sujet peut accommoder. Sa vision du point dépendra donc de l’accommodation mise en jeu.
          Si nous prenons l’exemple d’un astigmate hypérope composé dont l’hypéropie est de 2d dans le plan horizontal et de 1d dans le méridien vertical, regardant un point lumineux à l’infini, nous pouvons résumer les réponses possibles du sujet en fonction de l’accommodation A qu’il aura mise en jeu.

           

           

           

           

           

           

           


          Regardant ce point éloigné, le sujet jeune répondra probablement qu’il voit sur le cadran de Parent la direction 12/6 plus contrastée ou qu’il voit ce dernier uniforme (il met en jeu une accommodation comprise entre 1,5 et 2 d ) alors que le sujet de plus de 45 ans aura tendance à répondre qu’il voit la direction 9/3 plus contrastée. Ces réponses ne sont que les plus probables car certains sujets jeunes pourront aussi répondre 9/3.

        3. Point à 33 cm

       

       

       

       

       

       

       

       

      Dans l’exemple choisi, même le sujet jeune aura tendance, si on lui présente le cadran de Parent à 33 cm, à mettre en jeu une accommodation inférieure à 4d . Il répondra alors qu’il voit la direction 9/3 plus contrastée. Dans ce cas, on dit qu’il y a eu inversion des focales entre la vision de loin et la vision de près. Il n’y a alors plus d’ambiguïté, la direction vue la plus contrastée au loin est celle de la focale arrière. Mais, si cette inversion ne se produit pas, pour l’hypérope astigmate, il y a toujours un doute et on ne peut préciser après le test de Parent au loin et au près que les méridiens principaux de l'œil.

    2. Vision d’un cercle
    3. Chaque point du cercle sera extériorisé sous une forme qui dépend de la position des focales associées par rapport à la rétine.

      Prenons l’exemple de l’astigmate myope simple précédent regardant un cercle situé à une distance éloignée. Chaque point sera vu sous forme d’un petit segment vertical, le cercle sera donc vu flou. Le flou sera plus important pour les portions perpendiculaires à la focale se trouvant sur la rétine. Il n’y a pas de déformation globale du cercle.

      Si le cercle est rapproché à 33 cm, la vision va dépendre de l’accommodation que le sujet va mettre en jeu. En supposant qu’il accommode de deux dioptries, le cercle de moindre diffusion se trouve sur la rétine, le cercle sera alors vu uniformément flou.

      Comme nous le verrons en optométrie, la réponse du patient quand on lui présente le cadran de Parent peut permettre, dans certains cas, d’avoir des renseignements sur son astigmatisme.

  6. compensation de l’astigmatisme
    1. Principe
    2. Comme pour l'œil sphérique, la compensation théorique est celle qui emmétropisera l’œil. Il faut donc que le système compensation – œil soit un système sphérique. Le système compensateur sera donc un système astigmate dont l’astigmatisme compensera celui de l'œil. Le sphérocyl compensateur est presque toujours noté en cylindre négatif
      Tout se passe donc au point de vue calcul comme si l’on avait une double amétropie. Il faut rechercher la puissance compensatrice dans chaque méridien principal de l'œil.

      Prenons l’exemple d’un sujet compensé par le verre - 2,00 ( - 2,00) .

      La puissance compensatrice du verre dans le méridien à 0° est donc de - 2,00d , il est myope de deux dioptries dans ce méridien.
      Dans le méridien à 90°, la puissance compensatrice est de - 4,00d , il est myope de 4,00d . Nous avons donc un astigmatisme myopique composé d’axe à 0°.

      Le sujet observant un point lumineux à l’infini, les deux focales sont situées en avant de la rétine.

       

      Lorsque l’on place la sphère DL de -2,00d , les deux focales reculent et la focale arrière (focale à 90° centrée en T’0) se trouve sur la rétine.

       



      Pour ramener le conjugué T’90° sur la rétine, on place le cylindre négatif axe à 0°, le système œil compensateur est alors sphérique puisque le conjugué du point T éloigné est identique dans les deux méridiens.

      L’axe du cylindre négatif est donc toujours perpendiculaire à la focale arrière.

    3. Relation entre puissance du cylindre compensateur et astigmatisme de l'œil
      1. Réfractions dans les deux méridiens
      2. Nous prenons toujours l’exemple d’un œil compensé parfaitement par le verre –2,00 ( - 2,00 ) axe à 0° placé à 15 mm du plan principal objet de l’œil.

         

         

         

         

         

         

         

         


        Les foyers principaux image du verre sont confondus avec les remotas de l’œil. On en déduit:

      3. Astigmatisme de l'œil en H

      La compensation de l'œil en H est donc de – 1,94 d dans le méridien à 0° et de – 3,77 d dans le méridien à 90°. Elle peut s’écrire - 1,94 ( - 1,83 ) axe à 0°.
      L’astigmatisme de l’œil en H, mesuré par son compensateur, est donc de – 1,83 axe à 0°.
      Pour déterminer l’astigmatisme de l'œil en H ou comme nous le verrons plus tard l’astigmatisme de la compensation en S, il faut toujours calculer les puissances compensatrices en ces points dans les deux méridiens principaux.

    4. Normalisation
      1. Formulation des verres
      2. Tout verre astigmate régulier est équivalent à un verre mince sphérique accolé à un verre cylindrique mince d’axe convenable. Rappelons que le verre cylindrique (" cylindre ") ayant un axe orienté à a ° n’a une puissance définie que dans le méridien à a +90°. Il ne modifie pas la marche des rayons dans le méridien à a °. La compensation de l’astigmatisme est donnée avec un cylindre de valeur négative alors que la commande du verre se fait avec le cylindre positif, ce qui nécessite de transposer.

        S ( - C )axe à a ¬ ® Da = S Da +90 = S-C ¬ ® S-C ( + C )a +90

      3. Orientation de l’espace (TABO)

      L’orientation de l’axe des verres astigmates se fait en utilisant la notation TABO.

      Si on regarde de face le porteur des verres:

       

       

       

       

    5. Effets de la distance verre œil
      1. Effet d’anamorphose : 
        Vision d’une croix dont les deux branches sont dans les méridiens principaux de l'œil.
      2. Au contraire du verre sphérique qui induisait un grossissement uniforme (même grossissement pour tous les méridiens), le verre astigmate placé devant l’œil de l’observateur va " déformer " (anamorphoser) les objets observés. Nous allons le montrer en considérant le cas précédent: œil compensé par - 2,00 (-2,00) axe à 0° placé à 15mm devant le plan principal et regardant une croix éloignée dont les branches égales sont horizontale et verticale.
        La branche verticale se trouve dans le méridien vertical et l’on peut calculer son image rétinienne O ’A’. La branche horizontale est dans le méridien horizontal, son image sera O’B’.

        En reprenant dans chaque méridien le calcul de grandeur de l’image rétinienne que nous avons déjà effectué pour l’œil sphérique compensé, on trouve:

        Le rapport des extériorisations est égal au rapport des images rétiniennes. La branche horizontale paraîtra 3% plus longue que la branche verticale. L’angle entre les deux branches reste égal à 90° puisque les images O’A’ et O’B’ sont dans les méridiens principaux.
        Cet œil voit donc une croix nette, à branches perpendiculaires mais dont les longueurs sont différentes. A travers le verre astigmate, les objets sont vus " allongés " dans le méridien contenant l’axe du cylindre négatif.
        Si au lieu d’observer une croix, le sujet observait un cercle éloigné, il le verrait sous forme d’une ellipse dont le grand axe serait dans le méridien contenant l’axe du cylindre négatif (méridien le moins myope ou le plus hypérope).

      3. Déclinaison : 
        Vision d’une croix dont les branches ne sont pas dans les méridiens principaux de l'œil.
      4. C’est un aspect particulier de la déformation des images par le verre astigmate.
        Les branches de la croix ne se trouvent pas dans les méridiens principaux de l'œil, les seuls dans lesquels nous pouvons effectuer un calcul d’image rétinienne.


        Nous allons donc d’abord rechercher l’image de l’une des branches en utilisant une propriété mathématique. Le segment OLAL a pour composantes dans les deux méridiens principaux OLAL90 et OLAL0. Nous allons rechercher les images rétiniennes de ces composantes qui seront les composantes de O’A’ image rétinienne de OLAL.

        Soit a l’angle que fait la branche OLAL avec l’axe du cylindre négatif. On a :

        OLAL90 = OLAL ´ sin a et OLAL0 = OLAL ´ cos a

        Les angles uL0 et uL90 sont proportionnels à la taille des objets OLAL0 et OLAL90. On peut donc écrire leur rapport : 

        Les images rétiniennes O’A’90 et O’A’0 de OLAL90 et OLAL0 vont être calculées dans chaque méridien et l’on obtient :

        L’angle a ’ que fait l’image rétinienne O’A’ avec la direction de l’axe du cylindre négatif est donc plus faible que celui que faisait la branche avec cette même direction. La droite semble avoir " décliné " vers l’axe du cylindre négatif.

        A titre d’exemple, si la droite faisait un angle de 30° avec l’axe horizontal, son extériorisation fera un angle de 29,3°. Soit une rotation d’environ 40’.

        Un calcul analogue avec la branche OLBL montrera que cette branche à aussi décliné vers l’axe du cylindre négatif. Cette branche faisait un angle a avec la direction du contraxe, son image rétinienne fera un angle b avec cette même direction, on montre que :

        Si la branche fait un angle a de 30° avec la verticale, l’image rétinienne fera un angle de 30,7°. Les deux branches de l’image rétinienne de la croix font donc maintenant entre elles un angle de 91,4°. On peut aussi calculer les longueurs des images rétiniennes O’A’ et O’B’ et montrer qu’elles sont différentes : O’B’ étant plus proche du méridien le plus myope sera légèrement plus courte que O’A’. En plus du phénomène de déclinaison il y a aussi anamorphose.

        Les extériorisations étant similaires des images rétiniennes, le sujet verra une croix nette, à branches inégales qui ne sont plus perpendiculaires entre elles. Les deux branches ont décliné vers l’axe du cylindre négatif compensateur.

         

        On peut estimer l’ordre de grandeur de cette déclinaison vers l’axe du cylindre négatif à environ 20’ par dioptrie d’astigmatisme pour des verres placés à 15 mm de H.

        Cet effet de déclinaison aura une influence importante malgré sa faible valeur sur la perception binoculaire de l’espace dans certains cas particuliers de couples oculaires astigmates. Nous y reviendrons dans les chapitres concernant la stéréoscopie et l’aniséïconie.

      5. Astigmatisme résiduel en VP
      6. La compensation théorique du sujet est telle que le conjugué objet de la rétine à travers l’ensemble œil + compensation théorique soit à l’infini.

        Nous pouvons calculer l’accommodation théorique nécessaire dans chaque méridien pour voir un point rapproché. Nous supposerons toujours que l’accommodation a même valeur dans les deux méridiens (accommodation stigmique). Comme nous l’avons vu, l’accommodation nécessaire sera plus faible pour le méridien le plus convergent. Cette différence d’accommodation théorique nécessaire montre qu’il existera un astigmatisme résiduel en VP (l’accommodation mise en jeu étant la même dans les deux méridiens, la rétine ne peut être le conjugué image du point dans ces deux méridiens).

        Reprenons notre sujet compensé par - 2,00 ( - 2,00 ) axe à 0° qui regarde un point situé à 40 cm devant le plan des verres.

        Dans le méridien horizontal:

        En effectuant les calculs, on trouve: A0 = 2,27d .

        Dans le méridien vertical:

        ce qui donne : A90 = 2,15d .

        On aura donc pour la vision à 40 cm, un astigmatisme résiduel de 0,08d direct (On remarque qu’il est de même nature que l’astigmatisme total de l’œil). Cet astigmatisme résiduel ne deviendra important et ne perturbera la vision de près que si l’astigmatisme de l’œil est fort.

  7. Association de systemes astigmates
    1. Méthode d’association
      1. Cas ou les méridiens principaux des deux systèmes sont confondus:
      2. Dans ce cas particulièrement simple, les puissances méridiennes s’ajoutent.
        S ( C )a 
            S’ (C’ )a = S+S’ ( C + C’ )a
        Le système sphéro-cyl équivalent est donc obtenu par addition des sphères et addition des cylindres.

      3. Cas général:
      4. On souhaite associer les deux systèmes astigmates: S1 ( C1 )a et S2 ( C2 )b , les cylindres sont de même signe algébrique (s’il n’en est pas ainsi, il faut d’abord effectuer la transposition de l’un des verres).

        Nous admettrons qu’il existe un système S ( C )a +j équivalent à l’ensemble des deux systèmes.

        Les sphères agissant dans tous les méridiens, le problème est donc d’associer les deux cylindres:

        S1 ( C1 )a      S2   ( C2 )b = S1 + S2 ( C1 )a       ( C2 )b

        Posons q = b - a . L’association de ( C1 )a avec ( C2 )a +q donnera un sphéro-cyl SR ( C )a +j .

        Il faut connaître la méthode graphique d’association.

        Pour appliquer cette méthode, il faut que le signe des deux cylindres soit identique. Il peut donc être nécessaire d’effectuer une transposition. Pour éviter des erreurs de signe, il est préférable de toujours associer des cylindres positifs.

        1- La somme des puissances méridiennes doit être conservée d’où:

        C1 + C2 = SR + SR + C Û  

        2- Pour déterminer graphiquement le cylindre résultant :

        On choisit la direction origine des angles a (dans la pratique il est toujours préférable de prendre la valeur la plus petite entre les deux directions des axes des cylindres).

        A partir d’un point origine O, on porte un vecteur dans la direction origine et ayant une longueur proportionnelle à C1. A partir de l’extrémité de , on trace le vecteur tel que l’angle et que sa longueur soit proportionnelle à C2.

        Le cylindre recherché est représenté par le vecteur: . Sa valeur est proportionnelle à la norme de ce vecteur et son axe est égal à a +j avec .

         

         

         

        A partir de cette construction, on peut en déduire les formules analytiques (qui peuvent avantageusement être mises en mémoire dans la calculatrice à condition de bien connaître la signification de chaque symbole):

        Attention, si la différence angulaire entre les axes des deux cylindres de même signe à associer est supérieure à 90° , l’angle 2j est supérieur à 180°. Il faut donc faire attention à ceci lors de l’utilisation de la formule de la tangente.

    2. Bilan d’une erreur d’axage d’un verre
    3. La compensation théorique d’un client est de + 2,00 ( - 3,00) axe à 10°. Le client a choisi des montures rondes. Quelques temps après l’acquisition de ses lunettes, il se plaint d’une gêne. L’opticien constate que le verre a tourné et que la compensation portée est + 2,00 ( - 3,00) axe à 20°. Comment peut-on expliquer la gêne?

      Plusieurs façons de traiter ce problème sont possibles. Nous choisirons de calculer la réfraction complémentaire nécessaire pour cet œil portant une compensation erronée.
      La réfraction complémentaire est le verre qu’il faut ajouter à la compensation portée pour que l’œil retrouve sa compensation théorique. On écrira donc:
      compensation théorique = compensation portée + réfraction complémentaire

      + 2,00 ( - 3,00)10° = + 2,00 ( - 3,00)20° + réfraction complémentaire

      Û réfraction complémentaire = + 2,00 ( - 3,00)10° - 2,00 ( + 3,00)20°

      = - 1,00 ( + 3,00)100° - 2,00 ( + 3,00)20°

      = - 3,00 ( + 3,00)100° ( + 3,00)20°

      Associons les deux cylindres positifs. La direction origine sera donc 20° et l’angle q = 80°.
      La réfraction complémentaire est donc - 0,52 ( + 1,04 ) axe à 65°. L’erreur d’axage du verre induit un astigmatisme mixte relativement important qui peut gêner le client.

      On constate qu’une erreur d’axage laisse au sujet un astigmatisme mixte tel que le cylindre compensateur soit égal à 2 ´ cylindre prescrit ´ sinus (erreur d’axage).

    4. Cylindres croisés de Jackson
      1. Description
      2. C’est un verre bicylindrique à axes perpendiculaires de puissances méridiennes - C/2 et + C/2 (les plus utilisés sont C/2 = 0,25 ou 0,50 d . Dans le cas des cylindres croisés à main, le manche est à 45° des méridiens principaux. Il permet un retournement rapide du système.

         

         

         

         

         

      3. Action d’un cylindre croisé sur un faisceau stigmatique
      4. Un œil parfaitement compensé regarde un point TL à l’infini, l’image T’L se forme sur la rétine. On place devant le verre compensateur un cylindre croisé ± 0,50 manche à 45°. Ses méridiens principaux sont donc situés à 0 et 90° (axe positif à 0° et axe négatif à 90°. Le système verre œil + cylindres croisés est donc maintenant un système astigmate. Dans le méridien à 0°, la puissance totale a diminué de 0,50d et dans le méridien à 90°, elle a augmenté de 0,50d . On a donc crée un astigmatisme mixte, le cmd se trouve sur la rétine. Si l’on présente au sujet une croix, il la verra légèrement floue mais uniforme s’il n’accommode pas.

         

         

        Si le point de convergence du faisceau ,avant que l’on place les cylindres croisés, avait été en avant de la rétine (œil en situation myopique), lors de l’introduction des cylindres croisés, la focale à 90° serait plus proche de la rétine (puissance diminuée dans le méridien à 0°). Un point serait extériorisé sous forme d’une ellipse à grand axe vertical. Si on présente au sujet une croix éloignée, il verra plus noire la branche verticale. On a donc là une utilisation des cylindres croisés qui permettent de tester la mise au foyer.


         

         

         

      5. Action des cylindres croisés sur un faisceau astigmate
        1. Méridiens des cylindres croisés identiques à ceux du système astigmate
        2. Prenons le cas d’un astigmate mixte direct CS /2 ( - CS ) axe à 0°. En supposant qu’il n’accommode pas le cmd se trouve sur la rétine, la focale verticale est en arrière et la focale horizontale en avant.
          Nous plaçons les cylindres croisés ± 0,50d (manche à 45°) de façon à ce que l’axe du cylindre négatif soit à 0°. Le système résultant va être CS /2 + 0,50 ( - CS - 1 ) axe à 0°. Le cmd reste sur la rétine mais l’astigmatisme du sujet a augmenté d’une dioptrie.

           

           

           


          Si maintenant nous effectuons un retournement, les cylindres croisés sont équivalents au sphéro-cyl + 0,50 ( - 1,00 )90° º - 0,50 ( +1,00 ) . Le système résultant va être: CS /2 - 0,50 ( - CS + 1 ) axe à 0°. Le cmd reste sur la rétine mais l’astigmatisme du sujet a diminué d’une dioptrie.

           

           

           

           


          Dans la première position des cylindres croisés, l’acuité sera plus mauvaise que dans la seconde position puisque l’astigmatisme total est plus grand. On utilisera cette méthode pour déterminer la puissance du cylindre compensateur.

        3. Les méridiens des cylindres croisés sont différents de ceux du système
        4. Nous allons raisonner sur un exemple. On considère un sujet astigmate mixte qui serait parfaitement compensé par +1,00 ( -2,00 )axe à 15°. Il ne porte pas sa compensation et on place devant lui les cylindres croisés manche à 0°, axe du cylindre négatif à 45°. Ils sont donc équivalents à un sphéro-cyl : + 0,50 ( -1,00 ) axe à 45°. Nous pouvons calculer la réfraction complémentaire pour le système œil + cylindres croisés. La compensation portée par cet œil se résume aux cylindres croisés.
          Compensation théorique = cylindres croisés + réfraction complémentaire
          Réfraction complémentaire = + 1,00 ( - 2,00 )15° - 0,50 ( +1,00 )45°
          = -1,00 ( + 2,00 )105° - 0,50 ( +1,00 )45°
          = - 1,50 ( + 2,00 )105° ( +1,00 )45°

          En utilisant la représentation graphique:

          CR = 1,73              SR = 0,63           j = 45°

          Réfraction complémentaire

          = - 0,87 ( + 1,73 )90°
          = + 0,87 ( - 1,73 )

          Il s’agit encore d’un astigmatisme mixte. Pour un sujet en situation d’astigmatisme mixte, l’introduction des cylindres croisés ne déplace pas le cmd, il modifie la puissance et l’axe de l’astigmatisme.

          Si maintenant, nous inversons les cylindres croisés. Le sphéro-cyl équivalent devient: + 0,50 ( -1,00) axe à 135°. Nous pouvons dans ce cas aussi calculer la réfraction complémentaire:
          Compensation théorique = cylindres croisés + réfraction complémentaire
          Réfraction complémentaire = + 1,00 ( - 2,00 )15° - 0,50 ( +1,00 )135°
          = -1,00 ( + 2,00 )105° - 0,50 ( +1,00 )135°
          = - 1,50 ( + 2,00 )105° ( +1,00 )135°
          En utilisant la représentation graphique:

          CR = 2,65            SR = 0,18            j = 9,6°

          Réfraction complémentaire : - 1,32 ( + 2,65 )114,6° = + 1,33 ( - 2,65 )24,6°

          L’astigmatisme résultant est encore mixte mais il est beaucoup plus important. L’acuité du sujet sera plus faible dans la position 2. Nous utiliserons ces résultats en optométrie pour justifier la recherche d’un astigmatisme par la méthode de Freeman.

  8. Astigmatisme et lentilles de contact
    1. Détermination de l’astigmatisme interne
    2. Comme nous l’avons vu, l’astigmatisme total de l’œil est la somme de l’astigmatisme cornéen et de l’astigmatisme interne. La connaissance de cet astigmatisme interne est indispensable pour pouvoir prévoir le type de lentilles de contact que l’on peut adapter pour compenser l’œil astigmate.
      Rappelons que l’astigmatisme total est déterminé par une méthode subjective: on recherche le verre compensateur. L’astigmatisme cornéen est déterminé de façon objective en mesurant les rayons cornéens dans les méridiens principaux.

      Nous allons raisonner sur un exemple:
      L’œil d’un sujet est parfaitement compensé par un verre de lunettes de - 2,00 ( -1,50) axe à 0° placé à 12mm devant S , le sommet de la cornée. La cornée possède deux méridiens principaux axés à 0° et 90°. La mesure des rayons cornéens dans ces deux méridiens donne r0 = 8,00 mm et r90 = 7,70 mm. L’indice de la cornée est de 1,377. Calculer la valeur du cylindre placé en S qui compenserait l’astigmatisme interne de cet œil.

      Avant tout calcul, vous devez avoir remarqué que l'astigmatisme total de cet oeil est direct car l'axe du cylindre compensateur est à 0° et que l'astigmatisme cornéen est lui aussi direct car le rayon dans le méridien à 0° est le plus plat (puissance du dioptre cornéen plus faible dans le méridien à 0°)

      Nous allons d’abord calculer la valeur du compensateur qu’il faudrait placer en S :

      Le compensateur total en S a donc pour formule: - 1,95 (- 1,41 ) axe à 0°.
      On peut écrire: cylindre compensateur total en S = cylindre compensateur de la cornée en S + cylindre compensateur de l’astigmatisme interne en S .
      Il nous faut donc calculer le défaut astigmate de la cornée pour en déduire le cylindre compensateur de l’astigmatisme cornéen.
      Puissance de la cornée dans le méridien à 0°: 



      Puissance dans le méridien à 90°:

       

      Le sphérocyl du dioptre cornéen est donc 47,12 ( + 1,84 ) axe à 0°. On peut donc dire que cette cornée présente un défaut d’astigmatisme de + 1,84 axe à 0°.
      Le cylindre compensateur en S du défaut cornéen est donc: ( - 1,84 ) axe à 0°.

      Règle d’estimation de l’astigmatisme cornéen: Une toricité cornéenne de 10/100 induit 0,6 d d’astigmatisme cornéen.

      On peut donc écrire: ( - 1,41 ) = ( - 1,84 ) cylindre compensateur de l’astigmatisme interne.
      L’astigmatisme total et l’astigmatisme cornéen ayant le même axe on en déduit:
      cylindre compensateur de l’astigmatisme interne = ( + 0,43 ) axe à 0°. Cet astigmatisme interne est inverse.
      Si les axes des cylindres compensateurs de l’astigmatisme total et de l’astigmatisme cornéen avaient été différents ( ce qui est rare), il aurait fallu utiliser la règle de composition des cylindres.

    3. Compensation par une LRPO face arrière sphérique
    4. La lentille de contact crée entre sa face arrière et la cornée une lentille de larmes. Si la cornée est astigmate, cette lentille de larmes ayant sa face avant sphérique et sa face arrière astigmate va donc être astigmate.

      Nous allons reprendre le cas de l’œil précédent sur lequel on place une LRPO sphérique dont le rayon de la face arrière est 7,85 mm.
      Dans le méridien à 0°, la lentille de larmes a une face avant de rayon 7,85 mm et une face arrière de rayon 8,00 mm. Nous allons calculer sa puissance dans l’air (ce qui a été justifié en première année).

      Dans le méridien à 90°, la lentille de larmes a une face avant de même rayon mais une face arrière de rayon 7,70 mm; sa puissance est donc dans l’air:

      La lentille de larmes a donc pour formule: + 0,80 ( - 1,63 ) axe à 0° en S.

      Les puissances dans les deux méridiens principaux du système cornée + lentille de larmes vont donc être:

      L’astigmatisme cornéen résiduel de ce système est donc compensé par un cylindre de ( - 0,21) axe à 0°. On constate que la lentille de larmes a compensé: 
       
      de l’astigmatisme cornéen.

      Dans le cas du sujet, l’astigmatisme total restant sera donc: -0,21 + 0,43 = 0,22 d (axe à 0°). La lentille de larmes a " fait ressortir " l’astigmatisme interne du sujet. Cet astigmatisme restant, même faible, risque d’être mal toléré par le sujet puisqu’il est inverse.

      Une lentille LRPO sphérique, placée devant une cornée astigmate, crée une lentille de larmes qui compense 90% de l’astigmatisme cornéen.
      Avant de proposer cette solution de compensation, il faut donc évaluer l’astigmatisme interne du sujet pour prévoir quel sera l’astigmatisme total restant. Si la toricité de la cornée est trop importante, on ne pourra prescrire une LRPO dont la stabilité serait insuffisante.

    5. Compensation par lentille souple
    6. Au bout d’un temps de pose assez bref, la face arrière de la lentille va épouser la forme de la cornée. La lentille de larmes va donc devenir un film dont les deux faces ont le même rayon. Dans chaque méridien, la puissance de ce film de larmes est donc nulle. Si l’on a placé sur l’œil une lentille sphérique souple, la déformation qu’elle subit va créer un léger astigmatisme de la lentille. Cet astigmatisme sera toujours faible et influera peu sur l’astigmatisme total.

      Une lentille souple sphérique ne corrige pas l’astigmatisme de l’œil.

    7. Compensation par lentille torique

Il existe des lentilles toriques souples et rigides. Le tore peut être en face arrière ou en face avant. Ces lentilles étant équivalentes à un sphéro-cyl, il devient indispensable de s’assurer de leur position afin que l’axe du cylindre soit toujours dans la bonne position. Il existe plusieurs méthodes de stabilisation de l’axe (prismes ballasts, allégements...).
Dans le cas d’une LRPO, la compensation totale est le fait de la lentille et de la lentille de larmes générée entre la face arrière de la lentille et la face avant de la cornée. La lentille de larmes est alors bitorique si c’est la face interne de la LRPO qui est torique. Le choix d’une lentille torique face arrière permet une bonne stabilisation sur la cornée si celle-ci est fortement astigmate.

Dans le cas d’une lentille souple la compensation est due uniquement à la lentille.

------------------- Voir le cours sur les lentilles de contact ---------------------------------

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